Понятие предела последовательности или функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.
Основные определения
Определение
Предел числовой последовательности,
$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) : \forall n>n_{0},\left|x_{n}-a\right|
Предел функции в точке,
Предел функции на бесконечности,
История развития
Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 — 1727), а также математиками 18 века — швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 — 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 — 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 — 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 — 1857) в 1821 году.
Применение пределов на практике
Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.
Читать дальше: понятие числовой последовательности.
Вы поняли, как решать? Нет?
Помощь с решением
Определение предела функции
Первое определение предела функции по Гейне
Предел функции (по Гейне) при ее аргументе x, стремящемся к x0 – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) определена;
2) для любой последовательности , сходящейся к :
,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность сходится к a:
.
Предел функции обозначают так:
.
Или при .
Здесь a и x0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками: .
Для бесконечно удаленных точек приняты следующие обозначения:
.
Проколотая окрестность конечной точки может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае, для левой окрестности пишут:
.
Для правой окрестности:
.
С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
См. «Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши».
Второе определение по Коши
Предел функции (по Коши) при ее аргументе x, стремящемся к x0 – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) определена;
2) для любой окрестности точки a, принадлежащей , существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a:
при .
Здесь a и x0 также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Применяемые окрестности точек
В приведенном выше определении применяются произвольные окрестности точек. Например, проколотой окрестностью конечной точки является множество , где – два положительных числа, которые определяют размер окрестности. Более подробно, см. «Окрестность точки».
Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел , существуют числа , так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки : , значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где , .
С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши».
Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .
См. «Окрестность точки»
Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.
Конечные пределы функции в конечных точках
Число a называется пределом функции f(x) в точке x0, если
1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x, для которых , выполняется неравенство
.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .
См. «Определение предела функции в конечной точке»
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
См. «Определение предела функции на бесконечности»
Бесконечные пределы функции
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x1, x2, x3, … xn, то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x0.
Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x0, что для ,
, если ;
, если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x0
,
то .
Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x0:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x0, имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x0, что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
«Доказательство критерия Коши».
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x0, и он равен t0:
.
Здесь точка x0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t0.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t0):
.
Доказательство теоремы приводится на странице
«Предел и непрерывность сложной функции».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при .
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно малых функций».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.
Свойства бесконечно больших функций
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при , а функция – ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.
Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Cм. также: Свойства неравенств с бесконечно большими функциями ⇑.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей:
.
Для невозрастающей:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M: , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m: , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .
Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций».
Определение функции
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.
Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.
Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы в множестве X, называется областью или множеством значений функции.
Более подробно, см. страницы: «Определение функции»; «Способы задания функций».
Далее, если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.
Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
- Понятие предела. Начать изучение
- Два определения предела функции и их эквивалентность. Начать изучение
- Определение предела по Коши. Начать изучение
- Определение предела по Гейне. Начать изучение
- Эквивалентность двух определений предела. Начать изучение
- Различные типы пределов. Начать изучение
- Односторонние конечные пределы. Начать изучение
- Бесконечные пределы в конечной точке. Начать изучение
- Предел в бесконечности. Начать изучение
- Свойства пределов функций. Начать изучение
- Локальные свойства функции, имеющей предел. Начать изучение
- Свойства пределов, связанные с неравенствами. Начать изучение
- Бесконечно малые функции. Начать изучение
- Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Начать изучение
- Пределы монотонных функций. Начать изучение
- Критерий Коши существования предела функции. Начать изучение
Понятие предела.
Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера.
Пример 1
Исследуем функцию \(f(x)=\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}\) в окрестности точки \(x=1\).
Решение
Рис. 10.1
Пример 2
Решение
Рис. 10.2
Два определения предела функции и их эквивалентность.
Определение предела по Коши.
Определение.
Замечание.
Определение предела по Гейне.
Определение.
Пример 3
Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция
$$
f(x)=\sin\frac{1}{x}\nonumber
$$
не имеет предела в точке \(x=0\).
Решение
Возьмем
$$
x_{n} = \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^{-1},\quad \widetilde{x}_{n}=(\pi n)^{-1}.\nonumber
$$
Замечание.
Рис. 10.3
Эквивалентность двух определений предела.
Теорема 1
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.
Доказательство
Замечание.
Различные типы пределов.
Односторонние конечные пределы.
Рис. 10.4 Рис. 10.5
Аналогичный смысл имеют записи вида
$$
\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=A+0,\quad \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=A-0\nonumber
$$
Бесконечные пределы в конечной точке.
В этом случае функцию \(f(x)\) называют бесконечно большой при \(x\rightarrow a\).
Рис. 10.6 Рис. 10.7 Рис. 10.8
Предел в бесконечности.
Если
$$
\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(+\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A),\nonumber
$$
Свойства пределов функций.
Локальные свойства функции, имеющей предел.
Покажем, что функция, имеющая конечный предел в заданной точке, обладает некоторыми локальными свойствами, то есть свойствами, которые справедливы в окрестности этой точки.
Свойство 1
Доказательство
Свойство 2
Свойство сохранения знака предела.
Доказательство
Свойство 3
Доказательство
Свойства пределов, связанные с неравенствами.
Свойство 1
Доказательство
Свойство 2
Доказательство
\(\circ\) Для доказательства этого свойства достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и соответствующими свойствами пределов последовательностей. \(\bullet\)
Замечание.
Бесконечно малые функции.
Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\alpha(x)>0\) , то функцию \(\alpha(x)\) называют бесконечно малой при \(x\rightarrow a\).
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
- сумма конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая функция при \(x\rightarrow a\);
- произведение бесконечно малой при \(x\rightarrow a\) функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.
Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно малой и ограниченной функции, либо с помощью определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей. Из свойства 2) следует, что произведение конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.
Замечание.
Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.
Свойство
Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют конечные пределы в точке \(а\), причем \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A,\ \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), то:
\(\circ\) Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и свойствами пределов последовательностей. \(\bullet\)
Пределы монотонных функций.
Ранее мы уже ввели понятие монотонной функции. Докажем теорему о существовании односторонних пределов у монотонной функции.
Теорема 2
Доказательство
Следствие.
Если функция \(f\) определена и возрастает на отрезке \(,\ x_{0}\in(a,b),\) то
$$
f(x_{0}-0) < f(x_{0})\leq f(x_0+0)\label{ref16}
$$
Замечание.
Критерий Коши существования предела функции.
Лемма
Доказательство
Теорема 3
Доказательство
Замечание.