Пределы

Понятие предела последовательности или функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.

Основные определения

Определение

Предел числовой последовательности,

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) : \forall n>n_{0},\left|x_{n}-a\right|

Предел функции в точке,

Предел функции на бесконечности,

История развития

Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 — 1727), а также математиками 18 века — швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 — 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 — 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 — 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 — 1857) в 1821 году.

Применение пределов на практике

Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.

Читать дальше: понятие числовой последовательности.

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

Определение предела функции

Первое определение предела функции по Гейне

Предел функции (по Гейне) при ее аргументе x, стремящемся к x0 – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) определена;
2) для любой последовательности , сходящейся к :
,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность сходится к a:
.
Предел функции обозначают так:
.
Или при .
Здесь a и x0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками: .
Для бесконечно удаленных точек приняты следующие обозначения:
.
Проколотая окрестность конечной точки может быть как двусторонней, так и односторонней. В последнем случае, для левой окрестности пишут:
.
Для правой окрестности:
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
См. «Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши».

Второе определение по Коши

Предел функции (по Коши) при ее аргументе x, стремящемся к x0 – это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a, для которой выполняются следующие условия:
1) существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) определена;
2) для любой окрестности точки a, принадлежащей , существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a:
при .

Здесь a и x0 также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.

Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Применяемые окрестности точек

В приведенном выше определении применяются произвольные окрестности точек. Например, проколотой окрестностью конечной точки является множество , где – два положительных числа, которые определяют размер окрестности. Более подробно, см. «Окрестность точки».

Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел , существуют числа , так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки : , значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где , .

С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши».

Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .

См. «Окрестность точки»

Далее мы приводим формулировки определений предела функции по Коши для разных случаев, используя определения окрестностей с равноудаленными концами.

Конечные пределы функции в конечных точках

Число a называется пределом функции f(x) в точке x0, если
1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x, для которых , выполняется неравенство
.

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

См. «Определение предела функции в конечной точке»

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.

См. «Определение предела функции на бесконечности»

Бесконечные пределы функции

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x1, x2, x3, … xn, то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x0.

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x0, на которой функция f(x) ограничена:
.

Пусть функция имеет в точке x0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x0, что для ,
, если ;
, если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки , – постоянная, то .

Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x0
,
то .

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x0:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции».

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x0, имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x0, что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

«Доказательство критерия Коши».

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функции и имеют пределы:
;
.
И пусть существует такая проколотая окрестность точки , на которой
.
Тогда существует предел сложной функции , и он равен :
.
Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x0, и он равен t0:
.
Здесь точка x0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t0.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t0):
.

Доказательство теоремы приводится на странице
«Предел и непрерывность сложной функции».

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где – бесконечно малая функция при .

Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно малых функций».

Бесконечно большие функции

Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.

Свойства бесконечно больших функций

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция является бесконечно большой при , а функция – ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.

Cм. также: Свойства неравенств с бесконечно большими функциями ⇑.

Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций».

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства».

Пределы монотонных функций

Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей:
.
Для невозрастающей:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M: , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m: , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b:
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций».

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы в множестве X, называется областью или множеством значений функции.

Более подробно, см. страницы: «Определение функции»; «Способы задания функций».

Далее, если это особо не оговорено, мы рассматриваем функции, области определения и множества значений которых принадлежат множеству действительных чисел.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

1. Понятие предела. Начать изучение
2. Два определения предела функции и их эквивалентность. Начать изучение
3. Определение предела по Коши. Начать изучение
4. Определение предела по Гейне. Начать изучение
5. Эквивалентность двух определений предела. Начать изучение
6. Различные типы пределов. Начать изучение
7. Односторонние конечные пределы. Начать изучение
8. Бесконечные пределы в конечной точке. Начать изучение
9. Предел в бесконечности. Начать изучение
10. Свойства пределов функций. Начать изучение
11. Локальные свойства функции, имеющей предел. Начать изучение
12. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Начать изучение
13. Бесконечно малые функции. Начать изучение
14. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Начать изучение
15. Пределы монотонных функций. Начать изучение
16. Критерий Коши существования предела функции. Начать изучение

Понятие предела.

Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера.

Пример 1

Исследуем функцию \(f(x)=\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}\) в окрестности точки \(x=1\).

Решение

Рис. 10.1

Пример 2

Решение

Рис. 10.2

Два определения предела функции и их эквивалентность.

Определение предела по Коши.

Определение.

Замечание.

Определение предела по Гейне.

Определение.

Пример 3

Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция

$$
f(x)=\sin\frac{1}{x}\nonumber
$$
не имеет предела в точке \(x=0\).

Решение

Возьмем
$$
x_{n} = \left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^{-1},\quad \widetilde{x}_{n}=(\pi n)^{-1}.\nonumber
$$

Замечание.

Рис. 10.3

Эквивалентность двух определений предела.

Теорема 1

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквиваленты.

Доказательство

Замечание.

Различные типы пределов.

Односторонние конечные пределы.

Рис. 10.4 Рис. 10.5

Аналогичный смысл имеют записи вида
$$
\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=A+0,\quad \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=A-0\nonumber
$$

Бесконечные пределы в конечной точке.

В этом случае функцию \(f(x)\) называют бесконечно большой при \(x\rightarrow a\).

Рис. 10.6 Рис. 10.7 Рис. 10.8

Предел в бесконечности.

Если

$$
\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:\forall x\in U_{\delta}(+\infty)\rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon}(A),\nonumber
$$

Свойства пределов функций.

Локальные свойства функции, имеющей предел.

Покажем, что функция, имеющая конечный предел в заданной точке, обладает некоторыми локальными свойствами, то есть свойствами, которые справедливы в окрестности этой точки.

Свойство 1

Доказательство

Свойство 2

Свойство сохранения знака предела.

Доказательство

Свойство 3

Доказательство

Свойства пределов, связанные с неравенствами.

Свойство 1

Доказательство

Свойство 2

Доказательство

\(\circ\) Для доказательства этого свойства достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и соответствующими свойствами пределов последовательностей. \(\bullet\)

Замечание.

Бесконечно малые функции.

Если \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\alpha(x)>0\) , то функцию \(\alpha(x)\) называют бесконечно малой при \(x\rightarrow a\).

Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:

1. сумма конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая функция при \(x\rightarrow a\);
2. произведение бесконечно малой при \(x\rightarrow a\) функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.

Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно малой и ограниченной функции, либо с помощью определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей. Из свойства 2) следует, что произведение конечного числа бесконечно малых при \(x\rightarrow a\) функций есть бесконечно малая при \(x\rightarrow a\) функция.

Замечание.

Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.

Свойство

Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют конечные пределы в точке \(а\), причем \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A,\ \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B\), то:

\(\circ\) Для доказательства этих свойств достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и свойствами пределов последовательностей. \(\bullet\)

Пределы монотонных функций.

Ранее мы уже ввели понятие монотонной функции. Докажем теорему о существовании односторонних пределов у монотонной функции.

Теорема 2

Доказательство

Следствие.

Если функция \(f\) определена и возрастает на отрезке \(,\ x_{0}\in(a,b),\) то
$$
f(x_{0}-0) < f(x_{0})\leq f(x_0+0)\label{ref16}
$$

Замечание.

Критерий Коши существования предела функции.

Лемма

Доказательство

Теорема 3

Доказательство

Замечание.